小數點後多少位才夠

前些日子，家裡的長官因為指導學生科展的緣故，需要計算根號二、根號三的數值到小數點後三千位，在網路上找了兩天，始終找不到合適的資料。幾經思索，她發現找到資料的最佳方法，就是把任務交代下去，於是這個任務就落到我頭上，並且責令鄙人於兩日內限時完成任務。

每個對程式設計有興趣有野心的初學者，都曾經想過寫作自己的程式庫，任意位數四則運算無疑是一個不錯的練手標的，甫接到任務指令時，原也興致勃勃，覺得正是好好活動筋骨的機會，大不了自己寫個模組，再到網上找個 Newton's Method(牛頓法) 的算法就可交差。

仔細研究維基百科裡關於 Arbitrary-precision arithmetic 的說明，發現事情可沒有那麼容易，僅僅是要把任意位數乘法做出來，連規劃帶測試除錯，恐怕就不是一個晚上可以完工的。依照維基百科的說明，高明的算法，甚至要用到快速傅立葉轉換咧，這豈是一個週末項目（weekend project）的格局。所以，上策還是做個善用工具的人吧！

就在同一份資料裡，介紹了一些好心人撰寫並公開使用權的程式庫，我一一查訪，發現一個 Python 的模組mpmath , 完全符合需求。安裝 mpmath 非常容易，下載解壓縮之後，只要在檔案所在的目錄下，執行 sudo python setup.py install 就成了；需要引用這個模組的函數前，記得先載入 （from mpmath import *）這個模組，就算完成一切準備動作。

真正的重頭戲也簡單得不得了，閱讀文件之後發現，只要在進行運算前宣告本次運算的位數精度，比如說要計算三千位（3000 digits）的數字，就執行 mp.dps = 3000。mpmath 只問你要計算多少位元（digit），不管你要把小數點放在哪裡， dps 宣告數值是多少，mpmath 就給你那麼長的數字。

求根號二的過程簡單到出乎意料，先載入 mpmath （from mpmath import *）, 宣告需要的精度（mp.dps=100），宣告一個多精度的浮點數（a=mpf(2.0)），然後直接用 ** 運算子求出答案（開根號是二分之一次方），用經過最佳化的 sqrt() 函數也可以達成相同目標。運算過程看下面截圖就一目了然：


我另外寫了一個 Newton's Method 的副程式，驗算的結果發現，不管求到小數點後多少位（我最多測到5000位），a**0.5 的答案和牛頓法求出來的結果是完全一樣的，而且用函式庫內建的函式速度更快。結論很簡單：在這個年代，要做個善用工具的人，才能快速完成任務。